有限数学示例

$p = \frac{12 z + 30}{2 z} \div \frac{16 z + 40}{4 z}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ 无定义。

$x = - \frac{5}{2}, x = 0$

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

简化。

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解题步骤 3.1.1

约去 $12 x + 30$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.1

从 $12 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

解题步骤 3.1.1.2

从 $30$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 2 \cdot 15}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

解题步骤 3.1.1.3

从 $2 (6 x) + 2 (15)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

解题步骤 3.1.1.4

约去公因数。

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解题步骤 3.1.1.4.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 (x)} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

解题步骤 3.1.1.4.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

解题步骤 3.1.1.4.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

解题步骤 3.1.2

约去 $16 x + 40$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1

从 $16 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 40}{4 x}$

解题步骤 3.1.2.2

从 $40$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 4 \cdot 10}{4 x}$

解题步骤 3.1.2.3

从 $4 (4 x) + 4 (10)$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

解题步骤 3.1.2.4

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.4.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 (x)}$

解题步骤 3.1.2.4.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

解题步骤 3.1.2.4.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 x + 10}{x}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

解题步骤 3.3

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

解题步骤 3.4

计算极限值。

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解题步骤 3.4.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1

约去公因数。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

解题步骤 3.4.1.2

用 $6$ 除以 $1$ 。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

解题步骤 3.4.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

约去公因数。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

解题步骤 3.4.2.2

重写表达式。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

解题步骤 3.4.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

解题步骤 3.4.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

解题步骤 3.4.5

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

解题步骤 3.4.6

因为项 $15$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\frac{6 + 15 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

解题步骤 3.5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

解题步骤 3.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

解题步骤 3.7

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

解题步骤 3.8

计算极限值。

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解题步骤 3.8.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

解题步骤 3.8.1.2

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

解题步骤 3.8.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

解题步骤 3.8.2.2

重写表达式。

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{1}}$

解题步骤 3.8.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

解题步骤 3.8.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

解题步骤 3.8.5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

解题步骤 3.8.6

因为项 $10$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

解题步骤 3.9

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}$

解题步骤 3.10

计算极限值。

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解题步骤 3.10.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

解题步骤 3.10.2

化简答案。

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解题步骤 3.10.2.1

用 $6 + 15 \cdot 0$ 除以 $1$ 。

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

解题步骤 3.10.2.2

用 $4 + 10 \cdot 0$ 除以 $1$ 。

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{4 + 10 \cdot 0}$

解题步骤 3.10.2.3

约去 $6 + 15 \cdot 0$ 和 $4 + 10 \cdot 0$ 的公因数。

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解题步骤 3.10.2.3.1

重新排序项。

$\frac{6 + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

解题步骤 3.10.2.3.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3) + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

解题步骤 3.10.2.3.3

从 $0 \cdot 15$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3) + 2 (0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

解题步骤 3.10.2.3.4

从 $2 (3) + 2 (0 \cdot 15)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

解题步骤 3.10.2.3.5

约去公因数。

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解题步骤 3.10.2.3.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 10 \cdot 0}$

解题步骤 3.10.2.3.5.2

从 $10 \cdot 0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 2 (5 \cdot 0)}$

解题步骤 3.10.2.3.5.3

从 $2 (2) + 2 (5 \cdot 0)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

解题步骤 3.10.2.3.5.4

约去公因数。

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

解题步骤 3.10.2.3.5.5

重写表达式。

$\frac{3 + 0 \cdot 15}{2 + 5 \cdot 0}$

解题步骤 3.10.2.4

化简分子。

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解题步骤 3.10.2.4.1

将 $0$ 乘以 $15$ 。

$\frac{3 + 0}{2 + 5 \cdot 0}$

解题步骤 3.10.2.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{2 + 5 \cdot 0}$

解题步骤 3.10.2.5

化简分母。

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解题步骤 3.10.2.5.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{3}{2 + 0}$

解题步骤 3.10.2.5.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{2}$

解题步骤 4

列出水平渐近线：

$y = \frac{3}{2}$

解题步骤 5

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

水平渐近线： $y = \frac{3}{2}$

不存在斜渐近线

解题步骤 7

有限数学 示例

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